Matematyk stosuje dynamiczne pomysły do ​​wglądu w geometrię przestrzeni

Anonim

Steven Frankel nie jest głodny. Po prostu chce rozmawiać o makaronach.

Frankel wyobraża sobie dużą miseczkę z makaronem - i czy, i kiedy makaron może zawrócić do siebie - nieskończenie wytłaczany, jak mogłoby się wydawać, od jakiegoś kosmicznego wytwórcy makaronu.

Makaron jest uproszczonym sposobem dla Frankela, adiunkta matematyki w Arts and Sciences na Washington University w St. Louis, aby opisać związek między geometrią przestrzeni i dynamiką tej przestrzeni - jak przestrzeń zmienia się z czasem. To wszystko jest częścią jego pierwszego autorskiego artykułu w wiodącym czasopiśmie w jego dziedzinie, Annals of Mathematics.

Geometryści i dynamicy zazwyczaj tworzą dwa odrębne obozy w matematyce, ale Frankel woli myśleć o tych rzeczach w połączeniu. I nie jest sam. W czerwcu 2018 r. Podróżował do Shenzhen w Chinach, aby zaprezentować część swoich prac w ramach Międzynarodowej Konferencji na temat systemów dynamicznych.

"Możesz wykorzystać niektóre z dynamicznych pomysłów, aby uzyskać wgląd w geometrię przestrzeni" - powiedział Frankel. "Daje ci to jakiś sposób na rozbicie trójwymiarowej przestrzeni na jednowymiarowe pasma i możesz mieć nadzieję, że jeśli potrafisz zrozumieć te jednowymiarowe pasma, to zrozumiesz też, jak się ze sobą łączą - aby uzyskać wgląd w twoje przestrzeń."

Wyobraź sobie przepływ w postaci płytkiej tafli cieczy w ruchu. Gdybyś mógł zidentyfikować pojedynczą cząsteczkę w tym strumieniu i śledzić jej przemieszczanie się w czasie, możesz sobie wyobrazić zbudowanie mapy pokazującej miejsce, w którym punkt się zmienił i kiedy.

Jeśli zamiast poruszać się po powierzchni arkusza, przepływ poruszał się po trójwymiarowej przestrzeni o różnych właściwościach geometrycznych, nadal można zbudować mapę położenia punktu w czasie. Ale mapa wyglądałaby inaczej: przestrzeń wypełniłaby się pasmami lub krzywymi, które reprezentują ścieżki każdego punktu - znowu te kluski.

Nowa praca Frankela, hiperboliczna grubość i zamknięte orbity dla przepływów quasigeodesic, dowodzi domysły Danny'ego Calegari, matematyka z University of Chicago, byłego doradcy i mentora Frankela. Calegari przewidział, że przepływy te zamkną orbitę - co oznacza, że ​​niektóre z nich musiałyby wrócić do miejsca, w którym się rozpoczęły; Frankel ciężko dźwigał, żeby udowodnić, że to prawda.

"Istnieje związek pomiędzy tymi dynamicznymi zjawiskami, które pojawiają się - na przykład punktami stacjonarnymi i punktami cyklicznymi - a strukturą na dużą skalę przestrzeni podstawowej, którą reprezentuje ta dynamiczna struktura", powiedział Frankel.

Frankel zaczynał jako inżynier jako licencjat w Cooper Union, ale wkrótce odkrył swoją pasję w czystej matematyce. Ukończył doktorat na Uniwersytecie w Cambridge w 2013 r., po kontynuacji Calegari w Wielkiej Brytanii z Kalifornijskiego Instytutu Technologii w 2011 r. Następnie Frankel uczył matematyki na Uniwersytecie Yale przez cztery lata.

Uczył swojej pierwszej klasy na Uniwersytecie Waszyngtońskim jesienią 2017 roku.

"Każdy uczeń był fantastyczny", powiedział Frankel, o studentach z wyższej klasy teorii grafów. "Nie wszyscy byli gwiazdą, ale pod koniec wszyscy czuli się swobodnie, zadając pytania w trakcie zajęć i przerywając mi, gdy myśleli, że się mylę.

"Oni naprawdę angażowali się w naukę" - powiedział Frankel. "Nie mogę przecenić tego, jak ważne jest to.

"Istnieje taki mit, że nauka matematyki polega na zapamiętywaniu wielu twierdzeń i uczeniu się, jak je łączyć", powiedział. "Najlepszym sposobem, aby się uczyć, jest mieć na myśli pytanie - i zaatakować go, i spróbować odpowiedzieć na nie sam. A to wymaga zaangażowania ze strony ucznia, którego nie znajdziesz wszędzie".

Co prowadzi nas z powrotem do makaronu i kluczowych wniosków z jego pracy.

"To najgłupszy, ale wciąż dokładny sposób powiedzenia tego, co mówi ten dokument" - powiedział Frankel. "Jeśli masz miskę i jest ona wypełniona makaronem, który nie zawiera zbyt wiele, to niektóre z tych klusków muszą tworzyć pętle".

Ale czy kluski linguine? Lub rigatoni?

Frankel nie sprawi, że będziesz się głupio o to pytać. (Odpowiedź: linguine)

"Matematyka polega na tym, że nie ma żadnych oczywistych pytań" - powiedział Frankel. "W matematyce nie ma oczywistych pytań, ponieważ nie masz do czynienia z przedmiotami, które są tuż przed tobą."

Szybko zwraca uwagę na wpływ poprzednich pokoleń, a także na obecną pracę ludzi wokół niego w dziale.

"Matematyka jest działaniem społecznościowym, a nie indywidualnym" - powiedział Frankel. "Nie mogę po prostu powiedzieć sobie, aby usiąść na tym miejscu i pomyśleć, nie mogę poinstruować się, aby wymyślić coś ciekawego z nieba.

"Z jakiegoś powodu, tak po prostu funkcjonują nasze umysły, musisz się nimi kierować, pytania i przypuszczenia, które można znaleźć w matematyce - mogą być interesujące same w sobie, mogą być interesujące z powodu tego, gdzie cię prowadzą, " powiedział. "To równie ważne - jeśli nie ważniejsze - znalezienie właściwych pytań, które można zadać, ponieważ jest to możliwe, aby móc odpowiedzieć na te pytania."

menu
menu